Le disque de Poincaré

Il s'agit d'un modèle de géométrie hyperbolique nommé en l'honneur de Poincaré. Il est construit à partir des points intérieurs à un disque (en général de rayon unité). Le bord de ce disque est appelé « cercle limite ».

Un pavage du disque de Poincaré par des triangles

Géodésiques

Le chemin le plus court entre deux points est soit une portion de diamètre, soit un arc de cercle (euclidien) orthogonal au cercle limite.

Les droites en bleue sont toutes parallèles à la droite en rouge

Options

Le « rayon » du demi-plan est un scalaire positif qui joue un rôle analogue au rayon d'une sphère. En pratique, on choisit souvent l'unité pour le rayon afin de simplifier les calculs.

La « rotation hyperbolique » a pour effet de faire « tourner » le disque. Plus précisément, il s'agit d'une rotation de l'hyperboloïde autour de son axe avant sa projection sur le demi-plan de Poincaré.

La « translation hyperbolique » a pour effet de déplacer le contenu du disque. Il s'agit d'une application homographique. Nous renvoyons pour l'instant le lecteur à la littérature au sujet des isométries en géométrie hyperbolique.